『群論への第一歩』「第3章 群」ノート
席替えの話
席替えを写像と捉える
さて、一つの席替えを一つの写像と見なしましょう。座席番号全体の集合を
$ X = \{1,2,3\}
とします。すると一つの席替えは、集合Xから集合Xへの全単射であるといえますね。
rashita.iconここまでゆっくり読み進めてきたので、「たしかに」と理解できた。
群の定義
集合Gと、G上の二項演算$ \astが$ \fbox{G1},$ \fbox{G2},$ \fbox{G3}をすべて満たすとき、組$ (G,\ast)を群といいます。群$ (G,\ast)におけるGを台集合、$ \astを群演算といいます。 $ \fbox{G1}Gの任意の元x,y,zに対して、$ x*(y*z)=(x*y)*zが成り立つ。これを結合律という。 $ \fbox{G2}Gに元eが存在し、Gの任意の元xに対して、$ x*e=x かつ $ e*x=xが成り立つ。この$ eを単位元という。 $ \fbox{G3}Gの任意の元xに対して、Gの元yが存在し、$ x*y=e かつ$ y*x=eが成り立つ(eは$ \fbox{G2}の単位元)。このyをxの逆元という。
rashita.icon群は集合のことではなく、集合とその二項演算のセットのこと。
プログラミングのオブジェクトは、プロパティーとメソッドという二つの情報で成立しているが、そのような違うもののセットが群を構成していると理解。
第1章、第2章を踏まえていれば、ここら辺で「ああ、そういうことか」という理解というか全体像が立ち上がってくる
むしろ、この定義を理解するための準備段階として1.2章がデザインされていたことを理解する(発見する)
前章の「閉じていない」の理解が役立つ場面がいくつかあった
部分群の定義
(G,*)を群とします。Gの部分集合Hが1,2,3をすべて満たすとき、Hを群(G.*)の部分群といいます。
1 Hの任意の元x,yに対してx*yもHに属している
2群(G,*)の単位元eはHに属している。
3Hの任意の元xに対して、Gにおけるxの逆元もHに属している。
集合だけでなく、演算の方も小さく収まっているというイメージrashita.icon
まさに群の「部分」という感じ。